Mundlak-Zerlegung: Within- und Between-Effekt sauber trennen

Ein einfaches Random-Effects-Modell vermengt bei Paneldaten zwei analytisch zu trennende Fragestellungen: die Veränderung innerhalb einer Einheit über die Zeit einerseits, die Unterschiede zwischen den Einheiten andererseits. Die Mundlak-Korrektur trennt beide Varianzquellen — mit einer einzigen zusätzlichen Kovariate und ohne den Effizienzverlust eines reinen Fixed-Effects-Ansatzes.

Das Problem an einem Beispiel

Modelliert sei die Häufigkeit von Streckenstörungen im Schienenverkehr als Funktion der Instandhaltungsintensität, beobachtet über mehrere Jahre je Streckenabschnitt (strecke_id × jahr). Zu klären ist, ob eine höhere Instandhaltungsintensität die Störungen senkt. Ein naives Random-Effects-Modell liefert hier einen Koeffizienten, der Within- und Between-Variation vermischt. Verzerrt ist dieser Schätzer immer dann, wenn stärker beanspruchte Strecken zugleich intensiver gewartet werden und häufiger stören: Die Selektion schlägt sich dann als vermeintlicher Effekt nieder.

Das Verfahren in einem Satz

In das Modell wird zusätzlich der Einheiten-Mittelwert jeder zeitveränderlichen Kovariate aufgenommen. Der ursprüngliche Koeffizient misst dann den reinen Within-Effekt — die Veränderung innerhalb einer Strecke —, der Koeffizient des Mittelwerts die Between-Korrektur. Fällt letzterer signifikant aus, war das naive RE-Modell verzerrt; insofern liefert die Zerlegung zugleich einen handlichen Hausman-Test.

# Einheiten-Mittelwert der zeitveränderlichen Kovariate
d <- d |> group_by(strecke_id) |>
       mutate(instand_bar = mean(instandhaltung)) |> ungroup()

# Mundlak-RE-Modell: Within-Effekt + Between-Korrektur
library(plm)
m <- plm(stoerungen ~ instandhaltung + instand_bar,
         data = d, index = c("strecke_id", "jahr"),
         model = "random")

library(lmtest)
coeftest(m)   # instand_bar signifikant  =>  RE war verzerrt

Der Koeffizient auf instandhaltung entspricht nun dem Within-Effekt und ist numerisch identisch mit dem Fixed-Effects-Schätzer, verbleibt jedoch im RE-Rahmen, sodass zeitkonstante Merkmale wie Streckentyp oder Region im Modell erhalten bleiben. Der Koeffizient auf instand_bar bindet exakt jene Selektion, die den naiven Schätzer verzerrt hätte.

Erweiterung auf Zähldaten

Das lineare Modell bildet die Mechanik am klarsten ab. Streckenstörungen sind jedoch Zähldaten und häufig überdispers; methodisch gehört die Mundlak-Korrektur daher in ein (Quasi-)Poisson- bzw. negativ-binomiales Modell mit zufälligem Streckenintercept. Das Prinzip bleibt identisch, lediglich die Verteilungsannahme ändert sich:

library(glmmTMB)
mc <- glmmTMB(stoerungen ~ instandhaltung + instand_bar + (1 | strecke_id),
             family = nbinom2, data = d)   # Overdispersion abgedeckt

Fazit

Die Mundlak-Zerlegung kostet eine Zeile Code und beantwortet die Frage, an der naive Panelmodelle scheitern: Was ist Wirkung, was ist Selektion? Wer Effekte berichtet, ohne beide Varianzquellen getrennt zu haben, berichtet im Zweifel das Falsche.